Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Paso 1

Establece $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 8 x$ de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + 12 u - 45$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 45$ y cuya suma es $12$ .

$- 3, 15$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza $- 8 u + u^{2} + 15$ con el método AC.

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Paso 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 2.1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3